Resumen de Texto

ENSEÑANZA DE LA TOPOLOGIA Y GEOMETRIA EN LOS NIVELES ELEMENTALES VlDAL COSTA, E., DE LA TORRE FERNANDEZ, E.

En las últimas décadas la Matemática ha progresado se fortalecieron y desarrollaron. Estos cambios considerablemente desbordando su cauce tradicional e y los experimentados por las Ciencias de la Educación inundando, por primera vez, extensas zonas del cono- han obligado a hacer un replanteamiento de su cimiento, zonas que, al recibir el influjo de la mate- enseñanza.

Desde los niveles elementales la reforma de los programas y los métodos ha sido espectacular: nuevos temas, planteamientos, enfoques, etc. Una de las partes esenciales de la Matemática que bastantes años después de esta reforma educativa todavía no ha encontrado el sitio adecuado es la Geometría. Su paulatina desaparición de los niveles básicos ha ido en aumento y la preocupación por este tema se manifiesta en varios trabajos y congresos (Guzmán Ozámiz 1983, Howson 1973, Vollrath 1976).

La importancia de la enseñanza de la Topología y de la Geometria desde los primeros niveles, para que, de una ((forma equilibrada)), los niños vayan desarrollando sus capacidades cognoscitivas y descubriendo las nociones matemáticas.

Tal como afirma Meserve (Howson, 1973), nosotros pensamos que la Geometría es fundamental en el estudio de la matemática a cualquier nivel y vital para el uso efectivo o el estudio de cualquier rama de la Matemática.

Algunos planteamientos y cambios recientes en la enseñanza de la Topología y de la Geometría en los primeros niveles, están divididos en dos partes: a) Contenidos, b) Didáctica.

a) Contenidos:

En cuanto a los contenidos que deben enseñarse en la Matemática elemental nos encontramos, aunque parezca paradógico, con una parte moderna de la matemática, la Topología, la cual «según algunos)) (Piaget e Inhelder 1956, Sauvy 1972) es el punto de arranque.

El niño, a lo largo de sus juegos, tiene ocasión de familiarizarse con la vivencia topológica; sin embargo, estas adquisiciones se realizan en un orden disperso y son numerosas las lagunas. Si el niño posee solamente una colección de imágenes aisladas le es imposible alcanzar un pensamiento geométrico superior. Para superar la etapa imaginativa como base del pensamiento representativo y poder construir y transformar figuras espaciales, necesita manejar objetos, cuyo uso continuado conduce al descubrimiento de relaciones y éstas, posteriormente, se hacen leyes de Geometria.

Según Piaget-Inhelder (1956), aproximadamente a partir de los 6 años los conceptos topológicos van transformándose lentamente en conceptos proyectivos y euclideos. El espacio proyectivo aparece, psicológicamente, cuando un objeto empieza a ser considerado mentalmente no aislado, sino en relación a un punto de vista; el niño comienza entonces a apreciar cómo se presentan los objetos cuando son contemplados desde diferentes posiciones.

Análogamente Darke (1 982) afirma que estos experimentos de Piaget conducentes a probar su tesis de la primacia topológica están a menudo complicados por factores no conceptuales, y los conceptos de espacio en el niño son afectados por factores como el lenguaje, situación social, escuela, etc. Y termina diciendo, lo mismo que Kapadia (1974), que parece imprudente concluir de los experimentos de Piaget la necesidad de enseñar los conceptos topológicos en los primeros niveles, como proponen J. y S. Sauvy (1972).

Schipper (1983), quien hace un análisis de esta discusión teórica y experimentalmente, para terminar afirmando:«Lo más importante no son los conceptos que deben ser enseñados, sino las actividades que realicen los niños con papeles, tijeras, goma, cuerdas, madera, etc. y la reflexión sobre estas actividades)).presentamos un esquema (Fig. 1) sobre el desarrollo de estos conceptos topológicos y geométricos, en el que ((tratamos)) de exponer una forma estructurada de organizar los contenidos. En muchos aspectos es mas próximo a los esquemas desarrollados por The Association of Teachers of Mathematics (1977), que a los programas oficiales, incluyendo los de las diferentes Autonomías.

b) Didáctica:

En los niveles elementales, la mejor forma de aproximarse a la Matemática consiste en hacer, construir y descubrir sobre la experiencia. Esto conducirá de lo particular a lo general (Dienes, 1970). Las nociones espaciales no pueden aislarse de los otros temas y deben ser experimentadas en cada año de la escuela, mediante las experiencias y el uso del material didáctico adecuado (Dienes y Golding, 1967).

En el parvulario, la enseñanza debe dedicarse mucho más a la formación de capacidades e iniciación de conceptos que a  la adquisición de hechos. Debemos tener presente que los conceptos no se enseñan: lo único que podemos hacer es crear y presentar las situaciones y experiencias que ayuden a los niños a formarse. En preescolar los niños deben de jugar con sólidos de diferentes tamaños y formas, sin necesidad de conocer todos sus nombres y puedan comenzar a clasificarlos en virtud de sus propiedades.

 PARA DESARROLLAR CONCEPTOS TOPOLOGICOS:

Las primeras representaciones del espacio que el niño se va a formar van a partir de las percepciones elementales correspondientes a las relaciones de proximidad, separación, orden, contorno y continuidad. Para agilizar la interiorización de dichas percepciones se pueden proponer las siguientes actividades: Reconocimiento de formas por el sentido del tacto exclusivamente.

Podemos intentar que los niños transpongan un «orden)) lineal en otro también lineal, de forma directa o inversa; o un ((orden)) circular en lineal, etc. A partir de los 6 o de los 7 años se alcanza gradualmente la construcción del orden inverso por ensayo-error. Clasificación de figuras según criterios topológicos. Líneas abiertas o cerradas, superficies con uno o más agujeros, etc.

Se pueden realizar ejercicios de tipo topológico de dificultad muy diferente. En particular los grafos ofrecen un buen ejemplo de esto. Podemos comenzar con caminos sencillos e ir complicándolo con esquemas cartograficos, tablas de doble entrada, etc. Esto nos sugiere actividades de reforzamiento de nociones aprehendidas en ciclos anteriores. De cierta dificultad son el ((juego de Conwayn y el de las ((coles de Bruselas)) o de los ((botones)) (Sauvy, 1972).

PARA DESARROLLAR CONCEPTOS PROYECTIVOS:

La observación de las sombras que proyectan diversos objetos da lugar al estudio de las transformaciones inversas, la semejanza, la convexidad, las escalas, etc.

Podemos colocar ante el niño la maqueta de un paisaje y situar en diferentes lugares, alrededor de ella, un muñeco. Si preguntamos al niño qué es lo que ve el muñeco, aquel tiene que esforzarse por disociar su propio punto de vista del de los demás. Aquí aparecen relaciones de orden aplicadas a dos de las tres dimensiones presentes en las perspectivas consideradas: delante, detrás e izquierda-derecha. Alrededor de los 8 años, el agrupamiento de relaciones es aún incompleto y estas se construyen parcialmente y por separado, una tras otra. A los 9 o 10 años el niño puede elaborar una especie de esquema operacional completo de la estructura, a partir del cuál puede construir otros puntos de vista.

En cuanto a adivinar la forma que tendrán las diferentes secciones de un sólido, los primeros aciertos los tendremos en niños de 5 a 7 años y con figuras sencillas(cilindro, esfera); a esta edad hay confusión de puntos de vista, pues la abstracción formal que se requiere para ello exige una actividad mental mucho mayor que la abstracción de formas sencillas por medio del tacto.

PARA DESARROLLAR CONCEPTOS EUCLIDEOS:

Podemos decir que una propiedad euclidea es aquella que permanece invariante al proyectar una figura plana, mediante un haz de rayos paralelos, sobre un plano paralelo al plano de la figura.

Antes de entrar en la práctica de las transformaciones euclideas, podemos plantear con los niños alguna discusión acerca de la idea de ángulo y de dirección. Esto da lugar a varias actividades como recorrer caminos sobre el suelo, estudiar los cambios de dirección en un cruce de autopistas, etc.

Podemos estudiar la simetría bajo dos aspectos: como transformación y como propiedad de las figuras, y así es necesario realizar actividades en ambas direcciones. Los primeros ejercicios en torno a esta transformación serán a base de doblar papel y calcar. Luego haremos observar al niño el efecto producido al colocar frente a la figura un espejo o dos paralelos. Si colocamos ahora los dos espejos verticalmente, formando diferentes ángulos, podemos engendrar las simetrías y los diferentes giros de la figura y también estudiar sus ejes de lugar a una traslación.

Todas estas actividades tienen por objeto la acumulación de una gran cantidad de experimentos geométricos, que darán lugar a la conformación en la mente de los niños de las estructuras geométricas de modo que, más adelante y en el momento oportuno, sean capaces de asimilar una clarificación analítica de todo lo que han aprendido.